Экономика

 В. М. Рогожкин, А. Ф. Крюков, канд. техн. наук, Волгоград. инж.-строит, ин-т

Проблема оптимального распределения машин по видам работ уже обсуждалась в научной литературе. При этом задача ставилась на минимум времени выполнения заданного объема работ. Такая постановка оправдана для наиболее напряжен­ных периодов, когда сроки выполнения операций во многом. влияют на урожайность. В других случаях, когда сроки не являются решающими и допускается их увеличение в сравни­тельно широких пределах без риска снижения урожайности, целесообразнее ставить задачу на минимум затрат средств на выполнение заданного объема при соблюдении установленных сроков проведения работ.

Задача в такой постановке может быть решена симплекс­ным методом линейного программирования (Ф. И. Карпелевич, Л. Е. Садовский. Элементы линейной алгебры и линейного программирования.—М.: Наука, 1965). Методику решения ее рассмотрим на конкретном примере.

Пусть требуется выполнить сплошную культивацию почвы и вспашку соответственно на площади 50 га, 30 и 45 га трак­торами ДТ-75 и МТЗ-50 с соответствующим набором машин. Известна производительность W агрегатов и затраты средств С на выполнение единицы работы по каждой операции (см. таблицу). Требуется так распределить агрегаты по видам работ, чтобы затраты средств С на выполнение всего объема были минимальными, а время Т не превышало 120 ч.

Для удобства введем обозначение: A₁ — агрегат с трактором ДТ-75, А₂ — агрегат с трактором МТЗ-50, O₁ — культивация, O₂ — дискование, О₃ — вспашка, X_ij — площадь, обработанная агрегатом A_i, (i=1,2) на операции О_j, (j=1,2,3).

Решить поставленную задачу — это значит определить, какой объем работ на каждой операции должен выполнить каждый из агрегатов. Ограничения задачи запишутся в виде:

                                                           (1)

Так как агрегаты работают одновременно, то время рабо­ты t_i (i = 1,2) каждого из них не должно превышать 120 ч.

Это однако не означает, что оно одинаково у каждого агрегата. Поэтому не исключено, что .  Общий объем работ, выполняемых агрегатом А₁ и А₂, 

Q₁ = X₁₁ + X₁₂ + X₁₃;                                                         (2)

Q₂ = X₂₁ + X₂₂ + X₂₃.                                                         (3)

Разделив правую часть уравнений (2) и (3) на производи­тельность агрегатов на соответствующем виде работ, получим время работы каждого агрегата в часах:

                                                (4)

 Целевой функцией задачи являются затраты средств С на выполнение всего объема работ, которые будут складываться из затрат по агрегату А1 и A2. При известных удельных затратах 

                 (5)

 Таким образом, имеем системы ограничений (1) и (4) и целевую функцию (5). Требуется из всех неотрицательных решений систем найти такое, при котором C = min, а ч. Решение задачи принятым методом возможно при условии, если в системе ограничений нет неравенств. Для этого освободимся от неравенств в системе (4) путем ввода дополни­тельных переменных X₇ и X₈. Тогда система ограничений (1) и (4) примет вид

                                        (6)

 В рассматриваемой задаче ранг матрицы ограничений ра­вен числу уравнений в системе (6), т. е. r = 5. Число неизвестных n = 8. Следовательно, r < n. Тогда k=n–r=3, и пять базисных неизвестных можно выразить через остальные три свободные неизвестные.

При числе операций и агрегатов не более двух-трех за­дачу решить просто. Однако в реальных условиях, где учитывается гораздо большее число операций и агрегатов, объем вычислений резко возрастает. Наша задача была решена на ЭВМ «Наири-III», для этого была составлена матрица исход­ных данных и получены следующие результаты: X₁₁=50; X₁₂=6; X₁₃=45; X₂₁=0; X₂₂=24; X₂₃=0; X₇=35; X₈=0; С=339. Это означает, что трактор ДТ-75 должен выполнить сплошную культивацию на площади 50 га, дискование — на площади 6 га, вспашку — на 45 га, а трактор МТЗ-50 — дискование на площади 24 га. При этом общие затраты на выполнение всего заданного объема работ составят 339 руб. Это мини­мальная величина. Меньшее значение C при заданных усло­виях получить невозможно.

Значения переменных X₇ и X₈ показывают величину отклонений фактического времени работы конкретного агрегата от ограничений по времени, предусмотренных условиями за­дачи. В нашем примере эти отклонения — в сторону умень­шения.

Продолжительность работы каждого агрегата при известных X_ij составит:

Следовательно, время выполнения заданного объема работ в принятых условиях лимитируется работой агрегата A₂. Агрегат A₁ освобождается от работ раньше (на 35 ч), чем A₂. В этом принципиальное отличие рассматриваемой задачи. При решении конкретных задач освобождающиеся агрегаты надо учитывать при планировании работ на другом комплексе операций.

Таким образом, применение математических методов и ЭВМ при выборе оптимальных вариантов распределения машин по видам работ позволяет не только снизить затраты средств на выполнение заданного объема, но и облегчить труд инженерно-технических работников, занятых вопросами эксплуатации техники.

©Прохневский С. А.