Нахождение оптимальных планов производства продукции и их экономико-математический анализ.
Глава I.
1.1 Условия задачи
В состав рациона кормления на стойловый период дойных коров входит 9 видов кормов. В таблице 1.3.1 приводятся необходимые данные о кормах. Для обеспечения намечаемой продуктивности стада необходимо, чтобы в рационе кормления содержалось не менее 15,3 кг кормовых единиц, 1758 г перевариваемого протеина, 118 г кальция, 45,8 г фосфора, 660,8 мг каротина и 18,8 кг сухого вещества. В качестве дополнительных условий даны следующие соотношения для отдельных групп кормов в рационе: концентратов (кукуруза, жмых и комбикорм) – 5-20%, грубых кормов (стебли кукурузы, сено люцерновое, сено суданки) – 15-35%, силоса – 35-60%, корнеплодов (свекла сахарная и кормовая) –10-20%. Определить рацион кормления животных по критерию минимальной себестоимости.
Таблица 1.3.1 Содержание питательных веществ в 1 кг корма и его себестоимость.
|
Питательные вещества |
Кукуруза |
Жмых |
Стебли кукурузы |
Сено люцерны |
Сено суданки |
Силос кукурузы |
Свекла сахарная |
Свекла кормовая |
Комби-корм |
|
Кормовые единицы, кг |
1,34 |
1,9 |
0,37 |
0,49 |
0,52 |
0,2 |
0,26 |
0,12 |
0,9 |
|
Перевариваемый протеин, г |
78 |
356 |
14 |
116 |
65 |
19 |
12 |
9 |
112 |
|
Кальций, г |
0,7 |
5,9 |
6,2 |
17,7 |
5,7 |
1,5 |
0,5 |
0,4 |
15 |
|
Фосфор, г |
3,1 |
9,1 |
1 |
2,2 |
2,3 |
0,5 |
0,4 |
13 |
--- |
|
Каротин, мг |
4 |
2 |
5 |
45 |
15 |
15 |
--- |
--- |
--- |
|
Сухое вещество |
0,87 |
0,87 |
0,8 |
0,85 |
0,85 |
0,26 |
0,24 |
0,12 |
0,87 |
|
Себестоимость, рублей/кг |
0,43+ 0,01N |
0,65- 0,01N |
0,05+ 0,01N |
0,25+ 0,01N |
0,3+ 0,01N |
0,8- 0,01N |
0,15+ 0,01N |
0,14+ 0,01N |
0,75- 0,01N |
Глава 2.
Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием программы „Linear_Optimization”.
2.1 Краткое описание программы „Linear_Optimization”.
Программа „Linear_Optimization” предназначена для решения различных задач линейного программирования и анализа полученных результатов.
Данная программа позволяет пользователям работать с исходными данными, практически не изменяя их, что очень удобно для неопытных пользователей, на которых рассчитана данная программа. Программа позволяет получить хороший анализ результатов в удобной форме.
2.2 Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием программы „Linear_Optimization”.
1. Напишем экономико-математическую модель данной производственной задачи. Обозначим через xj (j=1,8) количество производимой продукции. Кроме того, т.к. объем ресурсов для оборудования дается в часах, а производительность оборудования в м¤/час, то необходимо перейти к соизмеримости.
Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального плана производства продукции каждого вида с целью получения максимальной прибыли.
ЗЛП будет выглядеть так:
Целевая функция:
min Z = 0.51x1+0.57x2+0.13x3+0.33x4+0.38x5+0.72x6+0.23x7+0.22x8+0.67x9
при ограничениях:
1.34x1+ 1.9x2+0.37x3+0.49x4+0.52x5+ 0.2x6+0.26x7+0.12x8+ 0.9x9 >= 15.3
78x1+ 356x2+ 14x3+ 116x4+ 65x5+ 19x6+ 12x7+ 9x8+ 112x9 >= 1758
0.7x1+ 5.9x2+ 6.2x3+17.7x4+ 5.7x5+ 1.5x6+ 0.5x7+ 0.4x8+ 15x9 >= 118
3.1x1+ 9.1x2+ x3+ 2.2x4+ 2.3x5+ 0.5x6+ 0.4x7+ 13x8 >= 45.8
4x1+ 2x2+ 5x3+ 45x4+ 15x5+ 15x6 >= 660.8
0.87x1+0.87x2+ 0.8x3+0.85x4+0.85x5+0.26x6+0.24x7+0.12x8+0.87x9 >= 18.8
x1+ x2+ x9 >= 5
x1+ x2+ x9 <= 20
x3+ x4+ x5 >= 15
x3+ x4+ x5 <= 35
x6 >= 35
x6 <= 60
x7+ x8 >= 10
x7+ x8 <= 20
Экономико-математическая модель состоит из целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных xj.
2. 2. Двойственной к данной задаче является следующая:
Целевая функция:
max F = 15.3y1+1758y2+118y3+45.8y4+660.8y5+18.8y6+5y7-20y8+15y9-35y10+35y11-60y12+10y13-20y14
при ограничениях:
1.34y1+ 78y2+ 0.7y3+3.1y4+ 4y5+0.87y6+y7-y8 <=0.51
1.9y1+ 356y2+ 5.9y3+9.1y4+ 2y5+0.87y6+y7-y8 <=0.57
0.37y1+ 14y2 +6.2y3+ y4+ 5y5+ 0.8y6+ y9-y10 <=0.13
0.49y1+ 116y2+17.7y3+2.2y4+45y5+0.85y6+ y9-y10 <=0.33
0.52y1+ 65y2+ 5.7y3+2.3y4+15y5+0.85y6+ y9-y10 <=0.38
0.2y1+ 19y2+ 1.5y3+0.5y4+15y5+0.26y6+ y11-y12 <=0.72
0.26y1+ 12y2+ 0.5y3+0.4y4+ 0.24y6+ y13-y14 <=0.23
0.12y1+ 9y2+ 0.4y3+ 13y4+ 0.12y6+ y13-y14 <=0.22
0.9y1+112y2+ 15y3+ 0.87y6+y7-y8 <=0.67
Данные задачи составляют пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план минимизации расходов на рацион кормления, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок питательной ценности используемых кормов.
3. Для решения прямой задачи воспользуемся программой «Linear_Optimization».
Программа установлена в каталоге «Linear_Optimization». Для её запуска активизируем данный каталог и находим файл с именем Linear_Optimization.exe.
В соответствующие поля программы вводим необходимые данные и производим расчёт.
"ООО Forward bizness"
Результаты оптимизации по состоянию на: 29.10.05 9:00:04
Минимум целевой функции "Минимальная стоимость кормов (руб.кг)" = 32,1779215824796
ограничения данные расчёта знак задан.знач-я
Кормовые единицы кг 21,170108795166 >= 15,3
Перевариваемый протеин г 1758 >= 1758
Кальций г 170,828521728516 >= 118
Фосфор г 185,623504638672 >= 45,8
Каротин г 660,799987792969 >= 660,8
Сухое вещество мг 26,7036418914795 >= 18,8
концентратов (кукуруза жмых. комбикорм) 5 >= 5
концентратов (кукуруза жмых. комбикорм) 5 <= 20
грубые корма (стебли кукур, сено люцерн, сено суданки) 15 >= 15
грубые корма (стебли кукур, сено люцерн, сено суданки) 15 <= 35
силос 35 >= 35
силос 35 <= 60
корнеплодов (свекла сахарная и кормовая) 10 >= 10
корнеплодов (свекла сахарная и кормовая) 10 <= 20
переменные данные расчёта
Кукуруза 3,94397739314731
Жмых 1,0560226068527
Стебли кукурузы 13,9271988696573
Сено люцерна 1,07280113034265
Сено суданки 0
Силос кукурузы 35
свекла сахарная 0
Свекла кормовая 10
Комбикорм 0
Выводы: ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона
находится в пределах норм.
4. Из полученного решения исходит, что минимальные затраты на составление рациона питания, содержащего все необходимые элементы составляют 32, 18 денежных единиц. То есть целевая функция:
min Z = 0.51*3,943977+0.57*1,056023+0.13*13,9272+0.33*1,072801+0.72*35+0.22*10=32,17792
Оптимальный рацион питания:
Х = (3,943977; 1,056023; 13,927200; 1,072801; 0; 35; 0; 10; 0)
то есть в рацион войдет:
Кукурузы –3,943977 кг
Жмыха – 1,056023 кг
Стеблей кукурузы – 13,9272 кг
Сена люцерны – 1,072801 кг
Силоса кукурузы – 35 кг
Свеклы кормовой – 10 кг
Остальные корма (сено суданки, свекла сахарная и комбикорм) в рацион не вошли.
5. Оптимальным планом двойственной задачи является следующий:
Y=(0; 0.000247; 0; 0; 0,004369; 0; 0,473236; 0; 0,104691; 0; 0,64976; 0; 0,217775; 0)
При этом целевая функция достигает своего максимального значения:
max F = 1758*0,000247+660.8*0,004369+5*0,473236+15*0,104691+35*0,64976+10*0,217775=32,17792
Таким образом мы получили решение прямой двойственной задач, значения целевых функций которых равны:
Z(X)=F(Y)=32,17792
6. Проанализируем каждое ограничение двойственной задачи, подставляя вместо Y значения двойственных оценок
78*0.000247 +4*0.004369+1*0.473236 =0.5099 <=0.51
356*0.000247+2*0.004369+1*0.473236 =0.5699 <=0.57
14*0.000247 +5*0.004369+1*0.104691 =0.12999<=0.13
116*0.000247+45*0.004369+1*0.104691 =0.3299 <=0.33
65*0.000247 +15*0.004369+1*0.104691 =0.18628<=0.38
19*0.000247 +15*0.004369+1*0.64976 =0.71998<=0.72
12*0.000247 +1*0.217775 =0.2207 <=0.23
9*0.000247 +1*0.217775 =0.21999<=0.22
112*0.000247+1*0.473236 =0.5009 <=0.67
Из полученных данных видно, что все ресурсы используются оптимально, кроме сена суданки и комбикорма, которые вообще не вошли в рацион.
Выводы.
На основе проведенных вычислений можно сделать следующий вывод: полученное решение прямой задачи является оптимальным, то есть ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона находится в пределах норм.
Документ изменён: